Cara Menentukan Domain Fungsi F(x) - G(x)

Hey guys! 👋 Pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin mikir keras? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas cara menentukan domain fungsi hasil operasi pengurangan, khususnya untuk fungsi pecahan dan fungsi akar. Soalnya kayak gini: Diketahui f(x) = 3/(x+2) dan g(x) = √(x-3). Gimana ya cara menentukan domain fungsi f(x) - g(x)? Yuk, simak penjelasan lengkapnya!

Apa Itu Domain Fungsi?

Sebelum kita masuk ke soal yang lebih kompleks, kita pahami dulu apa itu domain fungsi. Secara sederhana, domain fungsi adalah himpunan semua nilai input (x) yang boleh dimasukkan ke dalam fungsi sehingga menghasilkan output (y) yang real atau terdefinisi. Gampangnya, domain itu kayak wilayah kekuasaan suatu fungsi. Di luar wilayah itu, fungsi gak bisa beroperasi atau hasilnya jadi nggak jelas gitu, guys. Misalnya, kalau kita punya fungsi f(x) = 1/x, kita gak boleh masukin x = 0 karena hasilnya jadi tak terdefinisi (1/0 itu bukan angka yang jelas, kan?). Nah, semua angka selain 0 itu masuk ke dalam domain fungsi f(x).

Domain fungsi ini penting banget karena menentukan batasan nilai yang bisa kita gunakan dalam suatu fungsi. Dalam konteks dunia nyata, domain ini seringkali merepresentasikan batasan-batasan fisik atau logis. Misalkan, kalau kita lagi ngitung luas persegi panjang, panjang dan lebarnya gak mungkin negatif, kan? Nah, itu berarti domain untuk fungsi luas persegi panjang harus positif.

Dalam matematika, domain fungsi seringkali dipengaruhi oleh beberapa hal, terutama:

1. Penyebut Pecahan: Penyebut pecahan gak boleh sama dengan nol. Kenapa? Karena pembagian dengan nol itu ilegal dalam matematika. Hasilnya tak terdefinisi. Jadi, kalau ada fungsi pecahan, kita harus cari nilai x yang bikin penyebutnya nol, dan nilai itu harus dikeluarin dari domain.
2. Akar Kuadrat (atau Akar Genap Lainnya): Angka di dalam akar kuadrat (atau akar pangkat genap lainnya) gak boleh negatif. Kenapa? Karena akar kuadrat dari bilangan negatif itu bukan bilangan real, tapi bilangan imajiner. Kita kan lagi ngomongin fungsi real, jadi yang imajiner kita skip dulu, guys. Jadi, kalau ada fungsi akar, kita harus pastiin angka di dalam akarnya itu non-negatif (lebih besar atau sama dengan nol).
3. Logaritma: Angka di dalam logaritma harus positif. Logaritma itu kebalikan dari eksponen. Logaritma dari angka negatif atau nol itu nggak ada dalam bilangan real. Jadi, kalau ada fungsi logaritma, kita harus pastiin angka di dalamnya positif.

Nah, sekarang kita udah punya gambaran yang lebih jelas tentang domain fungsi. Kita udah tahu apa itu domain, kenapa domain itu penting, dan apa aja yang bisa mempengaruhi domain suatu fungsi. Dengan bekal ini, kita siap untuk menaklukkan soal yang tadi, yaitu menentukan domain fungsi f(x) - g(x).

Menentukan Domain Fungsi f(x) dan g(x) Secara Terpisah

Oke, sekarang kita pecah dulu masalahnya. Kita tentukan domain fungsi f(x) dan g(x) secara terpisah. Ini penting, guys, karena domain fungsi hasil operasi (seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian) itu tergantung pada domain masing-masing fungsi yang dioperasikan. Ibaratnya, kalau mau masak sop, kita harus pastiin semua bahan-bahannya (f(x) dan g(x) dalam kasus ini) masih segar dan layak dipakai (punya domain yang jelas).

Domain Fungsi f(x) = 3/(x+2)

Fungsi f(x) adalah fungsi pecahan. Seperti yang udah kita bahas tadi, domain fungsi pecahan itu semua bilangan real kecuali nilai yang bikin penyebutnya nol. Jadi, kita cari dulu nilai x yang bikin penyebut (x+2) sama dengan nol:

x + 2 = 0 x = -2

Nah, kita ketemu nih. Kalau x = -2, penyebutnya jadi nol, dan fungsi f(x) jadi tak terdefinisi. Jadi, x = -2 gak boleh masuk ke domain f(x). Dengan kata lain, domain f(x) adalah semua bilangan real kecuali -2. Kita bisa tulis dalam notasi matematika:

Df = {x ∈ R | x ≠ -2}

Artinya, domain f(x) adalah himpunan semua x yang merupakan bilangan real (R), dengan syarat x tidak sama dengan -2.

Domain Fungsi g(x) = √(x-3)

Fungsi g(x) adalah fungsi akar kuadrat. Kita udah tahu juga bahwa domain fungsi akar kuadrat itu semua nilai di dalam akar yang non-negatif (lebih besar atau sama dengan nol). Jadi, kita harus pastiin (x-3) itu lebih besar atau sama dengan nol:

x - 3 ≥ 0 x ≥ 3

Oke, kita dapat batasannya. Nilai x harus lebih besar atau sama dengan 3 supaya g(x) terdefinisi. Jadi, domain g(x) adalah semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan 3. Kita tulis dalam notasi matematika:

Dg = {x ∈ R | x ≥ 3}

Artinya, domain g(x) adalah himpunan semua x yang merupakan bilangan real, dengan syarat x lebih besar atau sama dengan 3.

Menentukan Domain Fungsi f(x) - g(x)

Sekarang, bagian yang paling penting nih. Kita udah punya domain f(x) dan domain g(x). Gimana cara menentukan domain fungsi hasil pengurangan, yaitu f(x) - g(x)?

Konsepnya sederhana, guys. Domain fungsi hasil operasi (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) itu adalah irisan dari domain masing-masing fungsi yang dioperasikan. Irisan itu apa? Irisan itu kayak perpotongan dua wilayah. Jadi, kita cari nilai x yang sekaligus ada di domain f(x) dan domain g(x).

Kenapa harus irisan? Karena kalau ada nilai x yang cuma ada di domain f(x) tapi gak ada di domain g(x), berarti g(x) gak terdefinisi di nilai x itu. Akibatnya, f(x) - g(x) juga jadi gak terdefinisi. Begitu juga sebaliknya. Jadi, kita harus pastiin kedua fungsi itu sama-sama terdefinisi di nilai x yang kita pilih.

Secara matematis, kita bisa tulis:

Domain (f(x) - g(x)) = Df ∩ Dg

Simbol