Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat 2x² - 3x + 1 = 0

by ADMIN 56 views

Persamaan kuadrat, guys, adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang sering banget muncul dalam berbagai soal dan aplikasi. Nah, kali ini kita akan bedah tuntas cara mencari akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² - 3x + 1 = 0. Gak usah khawatir kalau kamu merasa kesulitan, karena kita akan bahas langkah demi langkah dengan bahasa yang santai dan mudah dimengerti. Yuk, kita mulai!

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, ada baiknya kita pahami dulu apa itu persamaan kuadrat. Secara umum, persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya adalah:

ax² + bx + c = 0

Di mana:

  • a, b, dan c adalah koefisien (bilangan riil), dengan a ≠ 0
  • x adalah variabel yang ingin kita cari nilainya (akar persamaan)

Kenapa a ≠ 0? Karena kalau a = 0, persamaan tersebut akan menjadi persamaan linear (bx + c = 0), bukan lagi persamaan kuadrat.

Akar persamaan adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, jika kita substitusikan nilai akar ke dalam persamaan, hasilnya akan menjadi 0. Persamaan kuadrat bisa memiliki dua akar riil, satu akar riil (akar kembar), atau tidak memiliki akar riil (akar imajiner).

Dalam kasus persamaan 2x² - 3x + 1 = 0, kita punya:

  • a = 2
  • b = -3
  • c = 1

Sekarang, kita sudah tahu bentuk umumnya dan koefisien dari persamaan yang akan kita selesaikan. Selanjutnya, kita akan bahas metode-metode yang bisa digunakan untuk mencari akar-akarnya.

Metode-Metode Mencari Akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa metode yang bisa kita gunakan untuk mencari akar persamaan kuadrat, di antaranya:

  1. Memfaktorkan
  2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
  3. Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Masing-masing metode punya kelebihan dan kekurangannya sendiri. Memfaktorkan adalah metode yang paling cepat jika persamaannya mudah difaktorkan. Melengkapkan kuadrat sempurna berguna untuk memahami konsep dasar persamaan kuadrat. Sedangkan rumus kuadrat (rumus ABC) adalah metode yang paling umum dan bisa digunakan untuk semua jenis persamaan kuadrat.

Mari kita bahas satu per satu metode ini dan lihat bagaimana kita bisa menerapkannya pada persamaan 2x² - 3x + 1 = 0.

1. Memfaktorkan: Cara Cepat Jika memungkinkan

Memfaktorkan adalah proses mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian dua binomial. Misalnya, persamaan x² + 5x + 6 = 0 bisa difaktorkan menjadi (x + 2)(x + 3) = 0. Dari sini, kita bisa langsung mendapatkan akar-akarnya, yaitu x = -2 dan x = -3.

Kapan kita bisa menggunakan metode memfaktorkan? Metode ini paling efektif jika kita bisa dengan mudah menemukan dua bilangan yang jika dikalikan sama dengan c (konstanta) dan jika dijumlahkan sama dengan b (koefisien x). Dalam kasus persamaan 2x² - 3x + 1 = 0, kita perlu sedikit modifikasi karena ada koefisien 2 di depan x².

Langkah-langkah Memfaktorkan 2x² - 3x + 1 = 0:

  1. Kalikan koefisien a dan c: Dalam hal ini, 2 * 1 = 2.
  2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 2 dan jika dijumlahkan hasilnya -3: Dua bilangan tersebut adalah -1 dan -2.
  3. Pecah suku tengah (-3x) menjadi dua suku menggunakan bilangan yang kita temukan: 2x² - 3x + 1 = 2x² - x - 2x + 1
  4. Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir, lalu faktorkan masing-masing kelompok: (2x² - x) + (-2x + 1) = x(2x - 1) - 1(2x - 1)
  5. Faktorkan (2x - 1) dari kedua suku: x(2x - 1) - 1(2x - 1) = (2x - 1)(x - 1)
  6. Sekarang kita punya bentuk faktoran: (2x - 1)(x - 1) = 0
  7. Untuk mencari akar-akarnya, kita samakan masing-masing faktor dengan 0:
    • 2x - 1 = 0 => 2x = 1 => x = 1/2
    • x - 1 = 0 => x = 1

Jadi, akar-akar persamaan 2x² - 3x + 1 = 0 adalah x = 1/2 dan x = 1. Lumayan mudah, kan?

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Memahami Konsep Dasar

Metode melengkapkan kuadrat sempurna melibatkan perubahan bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna ditambah atau dikurangi suatu konstanta. Bentuk kuadrat sempurna adalah bentuk (x + p)² atau (x - p)², di mana p adalah konstanta.

Mengapa kita perlu melengkapkan kuadrat sempurna? Metode ini membantu kita memahami bagaimana akar-akar persamaan kuadrat berhubungan dengan koefisien-koefisiennya. Selain itu, metode ini juga menjadi dasar dari penurunan rumus kuadrat (rumus ABC).

Langkah-langkah Melengkapkan Kuadrat Sempurna 2x² - 3x + 1 = 0:

  1. Pastikan koefisien a (koefisien x²) adalah 1: Karena koefisien a kita adalah 2, kita bagi seluruh persamaan dengan 2: x² - (3/2)x + 1/2 = 0
  2. Pindahkan konstanta (1/2) ke ruas kanan: x² - (3/2)x = -1/2
  3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x ke kedua ruas: Koefisien x kita adalah -3/2, setengahnya adalah -3/4, dan kuadratnya adalah (-3/4)² = 9/16. Jadi, kita tambahkan 9/16 ke kedua ruas: x² - (3/2)x + 9/16 = -1/2 + 9/16
  4. Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna: (x - 3/4)² = -1/2 + 9/16
  5. Sederhanakan ruas kanan: (x - 3/4)² = -8/16 + 9/16 (x - 3/4)² = 1/16
  6. Akarkan kedua ruas: x - 3/4 = ±√(1/16) x - 3/4 = ±1/4
  7. Selesaikan untuk x:
    • x = 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1
    • x = 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2

Sama seperti metode memfaktorkan, kita mendapatkan akar-akar x = 1/2 dan x = 1. Metode ini memang sedikit lebih panjang, tapi memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang struktur persamaan kuadrat.

3. Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus ABC): Andalan Segala Kondisi

Rumus kuadrat, atau yang sering disebut rumus ABC, adalah rumus yang paling umum dan bisa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apa pun, tanpa peduli apakah persamaannya mudah difaktorkan atau tidak. Rumusnya adalah:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Rumus ini diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna. Jadi, sebenarnya kita menggunakan konsep yang sama, tapi dalam bentuk yang lebih ringkas dan siap pakai.

Diskriminan (D): Kunci Menentukan Jenis Akar

Bagian di dalam akar kuadrat, yaitu b² - 4ac, disebut diskriminan (D). Nilai diskriminan ini sangat penting karena menentukan jenis akar persamaan kuadrat:

  • Jika D > 0: Persamaan memiliki dua akar riil yang berbeda.
  • Jika D = 0: Persamaan memiliki satu akar riil (akar kembar).
  • Jika D < 0: Persamaan tidak memiliki akar riil (akar imajiner).

Langkah-langkah Menggunakan Rumus Kuadrat untuk 2x² - 3x + 1 = 0:

  1. Identifikasi koefisien a, b, dan c: Kita sudah tahu bahwa a = 2, b = -3, dan c = 1.
  2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat: x = (-(-3) ± √((-3)² - 4 * 2 * 1)) / (2 * 2)
  3. Sederhanakan: x = (3 ± √(9 - 8)) / 4 x = (3 ± √1) / 4 x = (3 ± 1) / 4
  4. Hitung kedua kemungkinan nilai x:
    • x = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1
    • x = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Seperti yang kita duga, kita mendapatkan akar-akar yang sama: x = 1/2 dan x = 1. Rumus kuadrat memang andalan, ya!

Kesimpulan: Persamaan Kuadrat Bukanlah Momok

Guys, kita sudah membahas tuntas cara mencari akar persamaan kuadrat 2x² - 3x + 1 = 0 menggunakan tiga metode: memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat. Masing-masing metode punya kelebihan dan kekurangannya, tapi yang terpenting adalah kita memahami konsep dasarnya dan bisa memilih metode yang paling sesuai dengan soal yang dihadapi.

Persamaan kuadrat mungkin terlihat menakutkan pada awalnya, tapi dengan latihan dan pemahaman yang baik, kita bisa menaklukkannya. Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain dan eksplorasi lebih jauh tentang konsep ini. Matematika itu seru, kok!

Jadi, jangan lupa untuk terus belajar dan berlatih, ya! Sampai jumpa di pembahasan soal-soal matematika lainnya!